Djoko Djayusman

1.1 Pendahuluan
Pada bab-bab terdahulu telah diperkenalkan beberapa teknis analitik untuk melakukan evaluasi keandalan sistem. Meskipun teknik-teknik tersebut dapat diaplikasikan baik
untuk komponen-komponen repairable dan non-repairable, namun teknik-teknik tersebut mengasumsikan bahwa proses (repair) perbaikan dilakukan secara cepat atau membutuhkan waktu yang sangat singkat yang relatif jauh lebih kecil dibandingkan dengan waktu operasi komponen tersebut.

Dengan kata lain, teknik-teknik tersebut tidak mengakomodasi waktu perbaikan untuk dijadikan pertimbangan dalam evaluasi keandalan sistem. Hal ini tentunya tidak berlaku untuk semua sistem, malahan sistem-sistem nonelektronik umumnya memiliki karakter yang berlawanan dengan asumsi di atas. Karena itu dibutuhkan suatu teknik analitik yang mampu memasukkan komponen waktu perbaikan kedalam proses evaluasi keandalan sistem. Salah satu teknik yang mampu mengakomodasi waktu perbaikan kedalam evaluasi keandalan sistem adalah Markov Modelling.

Metode Markov ini dapat diaplikasikan untuk sistem diskrit (discrete system) ataupun sistem kontinyu (continuous system). Sistem diskrit adalah sistem yang perubahan kondisinya (state) dapat diamati/terjadi secara diskrit. Sedangkan sistem kontinyu adalah sistem yang perubahan kondisi dan perilaku sistem terjadi secara kontinyu. Penjelasan lebih detail tentang sistem diskrit dan sistem kontinyu ini akan diberikan pada sub bab berikutnya.

Ada beberapa syarat agar metode Markov dapat diaplikasikan dalam evaluasi keandalan sistem. Syarat-syarat tersebut adalah:
(1) Sistem harus berkarakter lack of memory, dimana kondisi sistem dimasa
mendatang tidak dipengaruhi (independent) oleh kondisi sebelumnya. Artinya kondisi sistem saat evaluasi tidak dipengaruhi oleh kondisi sebelumnya, kecuali kondisi sesaat sebelum kondisi saat ini.
(2) Sistem harus stationery atau homogen, artinya perilaku sistem selalu sama disepanjang waktu atau peluang transisi sistem dari satu kondisi ke kondisi lainnya akan selalu sama disepanjang waktu. Dengan demikian maka pendekatan Markov hanya dapat diaplikasikan untuk sistem dengan laju kegagalan yang konstan.
(3) State is identifiable. Kondisi yang dimungkinkan terjadi pada sistem harus dapat diidentifikasi dengan jelas. Apakah sistem memiliki dua kondisi (state) yakni kondisi beroperasi dan kondisi gagal, ataukah sistem memeiliki 3 kondisi, yakni 100% sukses, 50% sukses dan 100% gagal.

Pada kali ini hanya akan dibahas evaluasi keandalan sistem diskrit dengan pendekatan discrete Markov Chain. Penjelasan tentang metode Markov untuk sistem kontinyu akan dibahas pada bab selanjutnya.

1.2 Konsep Pemodelan
Seperti terlihat pada gambar 1.2-1, sistem diwakili oleh dua kondisi (state) yang teridentifikasi, dan diberi nama kondisi 1 dan kondisi 2. Angka-angka yang terlihat pada gambar menunjukkan transition probability atau peluang transisi dari satu kondisi ke kondisi lainnya atau pun peluang tetap berada pada kondisi semula. Peluang transisi ini akan sama disepanjang waktu (stationery). Perhatikannlah kondisi yang pertama dan asumsikan bahwa sistem dimulai dari kondisi ini dimana peluang transisi ke kondisi 2 adalah 0.5. Dengan demikian peluang tetap berada pada kondisi 1 adalah 1 - 0.5 = 0.5. Demikian juga bahwa peluang transisi dari kondisi 2 ke kondisi satu adalah 1/4. Dengan demikian peluang tetap berada pada kondisi 2 adalah 1 – 1/4 = 3/4. Kita lihat bahwa jumlah peluang transisi pada satu keadaan adalah 1 (unity).

Nilai-nilai probabilitas di daerah transien berubah sesuai dengan jumlah intervalnya. Karena itu nilai-nilai probabilitas ini sering disebut dengan time dependent state probabilities. Sementara itu, nilai-nilai pada daerah steady state akan selalu konstan hingga jumlah interval tidak terhingga. Karena itu nilai-nilai probabilitas ini sering disebut dengan limiting value atau time independent state probabilities.
1.3 Stochastic Transitional Probability Matrix
Analisa probabilitas transisi seperti dibahas pada sub bab sebelumnya memeliki beberapa kelamahan. Kelemahan utamanya adalah panjangnya waktu yang dibutuhkan untuk melakukan evaluasi terutama jika jumlah time interval yang relatif besar. Disamping itu, penentuan daerah transien dan steady state juga membutuhkan jalan yang panjang karena kita harus mengidentifikasi interval dimana nilai probabilitasnya tidak lagi akan berubah.

Dengan keterbatasan tersebut, pemakaian stochastic transitional probability matrix akan jauh lebih memudahkan dalam mengevaluasi probabilitas transisi dari masing-masing kondisi (state) yang teridentfikasi di dalam sistem. Dalam konteks discrete Markov chain ada beberapa poin yang harus dipecahkan.
Poin-poin tersebut adalah:
(1) Berapakah nilai limiting value-nya?
(2) Berapakah nilai time dependent state probabilities-nya?
(3) Dalam berapa intervalkah limiting value akan tercapai? Atau pada interval manakah batas daerah transien dan daerah steady state?

Dengan menggunakan stochastic transitional probability matrix maka kita hanya melakukan beberapa proses manipulasi matrik seperti perkalian, menghitung determinan, co-factor, invers dan manipulasi matrik lainnya. Selanjutnya mari kita lihat kasus yang telah dibahas sebelumnya seperti terlihat pada gambar 7.1. State space diagram tersebut dapat dikonversi menjadi stochastic transitional probability matrix (P) seperti dibawah ini.

P_{ij} menunjukkan probabilitas transisi dari kondisi i ke kondisi j setelah satu interval waktu dimana sistem mulai dari kondisi i diawal waktu interval. Seperti terlihat P_{11} menunjukkan probabilitas tetap berada di kondisi 1 jika sistem dimulai dari kondisi 1, dimana nilai probabilitasnya adalah 1/2. Begitu pula P12 menunjukkan probabilitas transisi dari kondisi 1 k kondisi 2 jika sistem dimulai dari kondisi 1, dimana nilai probabilitas transisinya adalah 1-1/2 = 1/2.

1.4 Time Dependent State Probabilities
Time dependent state probabilities dapat dicari dengan mengalikan matrik P
dengan matrik P itu sendiri sejumlah interval yang diinginkan (Pn, dimana n
adalah jumlah interval waktu). Jika kasus sebelumnya kita cari nilai probabilitas
setelah 2 waktu interval, maka akan diperoleh perkalian matrik seperti berikut.

Jika nilai P_{11}, P_{12}, P_{21}, P_{21} disubstitusikan ke dalam matrik diatas maka akan diperoleh :

Yang menyatakan bahwa jika sistem dimulai dari kondisi 1 maka setelah 2 interval waktu probabilitas tetap di kondisi 1 adalah 3/8 dan probabilitas transisi ke kondisi dua adalah 5/8. Terlihat bahwa jumlah baris adalah 1. Demikian juga halnya jika sistem dimulai dari kondisi 2, maka probabilitas transisi ke kondisi 1 adalah 5/16 dan probabilitas tetap di kondisi 2 adalah 11/16. Nilai-nilai tersebut diatas untum masing-masing kondisi awal didapat dengan mengalikan matrik P2 tersebut dengan probability vector yang nilainya [1 0] jika sistem dimulai dari kondisi satu, dan [0 1] jika sistem dimulai dari kondisi 2. Nilai-nilai probabilitas diatas sesuai dengan nilai-nilai probabilitas yang dihasilkan dengan menggunakan event tree yang dibahas pada sub bab sebelumnya.